Bis 1957 war Koszyk als Journalist und Redakteur bei der Westfälischen Rundschau tätig. Von 1957 bis 1977 leitete er das Institut für Zeitungsforschung in Dortmund. Dort führte er die Archivierung durch Mikrofilme ein. 1965 war er maßgeblich an der Gründung des Mikrofilmarchivs der deutschsprachigen Presse beteiligt und bis 1977 dessen Geschäftsführer.
Koszyk habilitierte sich 1968 an der FU Berlin bei Fritz Eberhard und wirkte von 1969 bis 1974 als Professor für Publizistik und Kommunikationswissenschaft an der Ruhr-Universität Bochum. 1977 berief ihn der damalige nordrhein-westfälische Wissenschaftsminister Johannes Rau zum Gründungsprofessor des Modellstudiengangs Journalistik an der Universität Dortmund. Seine Bücher über Deutsche Pressepolitik im Ersten Weltkrieg, Deutsche Presse 1914–1945 und Pressepolitik für Deutsche 1945–1949 sind Standardwerke. Seine Verdienste um das Fach wurden zu seinem 60. und zu seinem 70. Geburtstag hervorgehoben.
Im Jahr 1968 wurde Koszyk zum ordentlichen Mitglied der Historischen Kommission für Westfalen gewählt, ab 1996 gehörte er ihr als korrespondierendes Mitglied an.
Nach seiner Emeritierung 1992 lebte Kurt Koszyk in München, wo er am 1. Januar 2015 starb. Dem Dortmunder Museum für Kunst und Kulturgeschichte vermachte er sieben Gemälde aus dem 17. Jahrhundert.
